Cycle Préparatoire Polytechnique - La Prépa des INP

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Définition des connecteurs logiques (et, ou, implication, équivalence , négation)
Apprendre à nier une phrase quantifiée
Démonstration par récurrence, récurrence faible et forte, par l'absurde et par contraposition, raisonnement par analyse -synthèse
Ensembles (définition, intersection, union, complémentaire)

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Systèmes linéaires par méthode du pivot de Gauss
Calcul de sommes et produits
Binôme de Newton et coefficients binomiaux
Simplification littérale, résolution d'inégalités (en incluant la valeur absolue), équations et inéquations (avec factorisation de polynômes, valeurs absolues, recherche de signes)

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Introduction aux nombres complexes
Forme algébrique, partie réelle, imaginaire, module, conjugué, inégalité triangulaire
Somme, produit et inverse
Calculs, Equation du 2nd degré à coefficients complexes
Représentation dans le plan, affixe d'un point
Travail avec la multiplication par le conjugué en cas de fraction de deux polynômes pour avoir le forme algébrique du quotient, Forme exponentielle, lien avec la géométrie (module, argument)
Euler et Moivre, utilisation des complexes pour linéariser cos^n(x), sin^n(x) et pour l'expression de cos(px), sin(px) à l'aide de puissances
Racines n-ième avec cas particulier des racines carrées

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Bases de l'analyse

Fonctions usuelles et propriétés (puissances entières ou non,valeur absolue, exp et ln)
Bijection réciproque, formule de la dérivée de la bijection réciproque, fonctions trigo, fonctions trigo réciproques
Fonctions hyperboliques, (pas de trigonométrie hyperbolique,) seule formule sur ch^2-sh^2
Calculs sur la trigonométrie
Parité, les limites, le domaine de définition
IPP à revoir en exercices
Exemple de la partie entière à aborder


Equations différentielles à coefficients constants

Equations différentielles du premier ordre à coefficients constants et avec second membre.
Forme exponentielle ou trigo pour le second membre
Théorème de structure des solutions, théorème sur la forme de solution particulière
Exemple l'utilisation des complexes pour un second membre en lambda*e^{imx}


Equations différentielles linéaires d'ordre 1

Définition, Structure des solutions , Plan d'étude
Solution de l'équation homogène, Recherche d'une solution particulière (solution évidente, cas déj à étudiés, méthode de la variation de la constante), Principe de superposition
Problème de Cauchy

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Relation d'un ensemble dans un ensemble: définition, propriétés (donner en exemple la relation d'équivalence), classes d'équivalence.
Relation d'un ensemble dans un autre: application, fonction , injectivité, surjectivité, bijectivité, image et image réciproque d'un ensemble.
Composition

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Structure de groupes

Lois interne, propriétés définition d'un groupe, th des sous groupes.
Morphismes de groupes , noyau et image.
Image directe dun sous groupe par un morphisme.


Polynômes

Définition, opérations, structure, degré, lien avec les opérations
Composition, Dérivation, formule de Taylor, Division euclidienne, relation "divise", notion de diviseurs d'un polynôme
Racines d'un polynôme, multiplicité, Factorisation en produit de polynômes irréductibles à coefficients dans R ou C
PGCD, polynômes premiers entre eux
Relations entre coefficients et racines : terme de plus bas degré et celui de degré n-1 et le cas particulier où n=2.

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Relation d'ordre des réels, borne supérieure, densité des rationnels et des irrationnels.
Définition des suites, opérations (+, x, .), structure, suites réelles majorées, minorées, bornée, monotones.
Comportement asymptotique, définition quantifiée de la limite, unicité, toute suite convergente est bornée, opération sur les limites, liens entre limites et inégalités (théorème des gendarmes...)
Suites extraites, suites réelles monotones et adjacentes, les suites récurrentes linéaires doubles., suites récurrentes avec plan d'étude (autonomie sur f croissante, f décroissante en exercices)

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Topologie de R : adhérence, intérieur, voisinage d'un point,
Limites : définition quantifiée, unicité, opérations, caractérisation séquentielle, limites et encadrement.
Continuité : définition, prolongement par continuité, continuité sur une partie, discontinuités de première et deuxième espèce
Théorème des valeurs intermédiaires et ses conséquences pour les fonctions continues sur segments (thm de la bijection, bornes atteintes sur un segment,image d'un intervalle, d'un segment par une fonction continue, théorème d'homéomorphisme, injectif + continue => strictement monotone)...
Quelques limites usuelles pour faire du calcul de limite "simple" (dont les croissances comparées). Pas de limites trop techniques, fonction partie entière.

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Repères historiques en optiqueLes différents modèles et leurs limitations
Indice optique d'un milieu transparent.Milieu transparent homogène et isotropeNotion de dispersion
Sources lumineuses. Sources primaires / secondairesModèle de la source ponctuelle monochromatique.
Approximation de l'optique géométrique et notion de rayon lumineux.
Réflexion - Réfraction. Lois de Descartes.
Notion de système optique, objet/image, réel/virtuel.
Conditions de Gauss.
Lentilles minces.
Système optique - éléments cardinaux (foyers et plans principaux)
L'œil.

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étude des circuits linéaires en régime continu et dans l'ARQS.


Charge électrique. Courant électrique, intensité du courant.


Potentiel, différence de potentiel, tension. Potentiel de référence, masse.


Puissance électrique reçue et puissance électrique fournie. Classification des dipôles.


Résistances. Association de résistances.


Ponts diviseurs de tension et de courant.


Sources.


Résistance de sortie. Résistance d'entrée.


Caractéristique d'un dipôle. Point de fonctionnement.


Méthode générale de calcul : utilisation des lois de Kirchhoff. Autres théorèmes et techniques de calcul.




Circuit linéaire du 1er ordre en régime transitoire.


Bobine et Condensateur.


Circuit RC série en régime transitoire, réponse à un échelon.


Différents régimes d'un circuit linéaire dans l'ARQS.


Stockage et dissipation d'énergie.




Circuit linéaire du 2nd ordre en régime transitoire.


Circuit RLC série en régime transitoire, réponse à un échelon.


Cas particulier limite : oscillateur harmonique non amorti, conservation de l'énergie.

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Préliminaires mathématiques


Manipulation des vecteurs




Cinématique du point matériel


Cinématique et relativité du mouvement / observateur


Repères et référentiels


Vecteurs liés


Vitesse et accélération


Dérivation temporelle des vecteurs


Les systèmes de coordonnées


Coordonnées intrinsèques


Exemples de mouvements




Changements de référentiel en mécanique classique


Composition des vitesses


Compositions des accélérations




Dynamique du point matériel


Les trois lois de Newton.


Notion de force.


Notion de référentiel Galiléen.


Quantité de mouvement d'un point matériel


Descriptions de différentes interactions (résultante, point d'application)


Importance de la troisième loi de Newton dans le cas de plusieurs objets interagissant




énergétique du point matériel


Déplacement élémentaire


Puissance et travail d'une force.


Loi de l'énergie cinétique et loi de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen.


Loi de l'énergie mécanique et loi de la puissance mécanique dans un référentiel galiléen.


énergie potentielle. énergie mécanique.


Forces conservatives et non conservatives.




Oscillateur à un degré de liberté


Oscillateur amorti et non amorti, en régime libre ou forcé sinusoïdal.


Applications à la mécanique du point : cas du pendule pesant et du système masse-ressort.




Théorème du moment cinétique pour le point matériel


Mise en place des différents concepts liés à la rotation par analogie avec la translation


Mise en équation du pendule simple à partir du théorème du moment cinétique.


Loi de transport du moment cinétique et du moment d'une force.

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Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre


Systèmes thermodynamiques états microscopiques, états macroscopiques : passage fondamental d'une réalité microscopique à des variables d'état macroscopiques Grandeur extensive, grandeur intensive.


échelles microscopique, mésoscopique, et macroscopique.


Deux grandeurs statistiques : la température et la pression. Utilisation du modèle du gaz parfait pour définir la pression cinétique et la température cinétique. équation d'état.


état d'équilibre d'un système soumis aux seules forces de pression. Parois athermanes ou diathermanes


Du gaz réel au gaz parfait. Exemple des gaz de Van der Waals


Coefficients thermoélastiques. Approximation des phases condensées peu compressibles et peu dilatables.


énergie interne d'un système. Capacité thermique à volume constant dans le cas du gaz parfait.


énergie interne et capacité thermique à volume constant d'une phase condensée considérée incompressible et indilatable.




énergie échangée par un système au cours d'une transformation


Transformation thermodynamique subie par un système.


Travail des forces de pression.


Transfert thermique. Transformation adiabatique. Thermostat.




Premier principe. Bilans d'énergie


Premier principe de la thermodynamique


Enthalpie d'un système. Capacité thermique à pression constante dans le cas du gaz parfait et d'une phase condensée incompressible et indilatable.

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Atomistique : généralités


Caractéristiques générales d'un atome,


Spectres de raies d'émission de l'atome d'hydrogène et ions hydrogénoïdes,


Structure électronique (couches et sous-couches), niveaux d'énergie dans l'atome H et les ions hydrogénoïdes,


Configuration électroniques (règles de construction)




Tableau périodique


Organisation des éléments dans la classification périodique


Présentation des principales familles chimiques


Evolution des propriétés atomiques : notion d'écran, électronégativité, rayons atomiques et ioniques, énergie d'ionisation, affinité électronique


Polarisation, pouvoir polarisant et polarisabilité




Structure et géométrie des molécules


Structure et géométrie moléculaires : modèle de Lewis et VSEPR. Cas de l'hypervalence


Liaison de covalence délocalisée


Propriétés des molécules : molécules polaires et apolaires, propriétés magnétiques




Liaisons faibles


Description des interactions de Van Der Waal et liaison hydrogène


Identifier la nature des liaisons faibles dans le cas des corps purs simples


Application : évolution des températures de changement d'état


Solvant moléculaire : polaire, apolaire, protique et aprotique.

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Solution aqueuse
Etat d'équilibre
Equilibre acido-basique
Réaction de précipitation
Réaction d'oxydo-réduction

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Qu'est-ce qu'un être vivant ? - Définition de la vie
Histoire et évolution de la vie.
La cellule
Transmission et dynamique du génome

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Types élémentaires et opérations


Représentation des données (réels, entiers)


Nombres en base b


Structures de contrôles


Fonctions


Listes/tableaux, Opérations standards


Utilisation des bibliothèques


Tris


Méthode de la dichotomie

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Fractions rationnelles


Méthodes de DES : sous forme de fiche.


Mise en application sur des cas relativement simples et pratiques (pas de paramètre n, privilégier décomposition dans R(X) : évaluations, parité, limite).




Intégration


Propriétés de l'intégrale, fonctions continues par morceaux, sommes de Riemann, inégalité et égalité de la moyenne, théorème fondamental de l'analyse, primitive, lien entre intégrale et primitive.


Intégration par parties, changements de variable.


Calcul pratique de primitives (IPP, changement de variables, fractions rationnelles, polynômes exponentielles)

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Relations de comparaison


Définition relations O,o ~ pour les fonctions et pour les suites,


propriétés et opérations pour la relation o, croissances comparées,


propriétés et opérations pour les équivalentes (transitivité, produit, quotient, composition à droite et puissance, valeur absolue)


Liens entre équivalents et limites




Calcul différentiel


Dérivabilité en un point : définitions, lien avec la continuité, opérations (+,.,x,/) et formules, dérivée d'une composé et d'une application réciproque,


Dérivabilité sur un intervalle,


Dérivées successives, formule de Leibniz, fonctions de classe Cn et opérations,


Théorème de Rolle, Théorème des Accroissements Finis,


Applications : lien dérivée / sens de variation d'une fonction,


Inégalités des AF,


Formule de Taylor Young, formule de Taylor-Lagrange




DL


Développements limités en 0, en a réel quelconque et en l'infini,


Développement généralisé, (selon l'échelle des (x^k) avec k dans Z) en 0, en a réel quelconque et en l'infini,


Formulaires, Calcul de limites,


Tangentes et branches asymptotiques, positions relatives

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Matrices


Définitions, opérations : addition, multiplication externe, multiplication interne, propriétés,


Rang d'une matrice, détermination pratique du rang,


Matrice inversible, groupe linéaire, calcul pratique de l'inverse d'une matrice,


Changement de bases, matrice de passage, formules de changement de bases pour les vecteurs et les applications linéaires




Déterminants


Formes n-linéaires, symétriques, antisymétriques, alternées,


Déterminant d'une famille de n vecteurs relativement à une base,


Déterminant d'un endomorphisme,


Déterminant d'une matrice carrée,


Calcul pratique d'un déterminant, techniques de calcul et développement selon une ligne ou une colonne, notion de mineur, cofacteur, comatrice,


Applications des déterminants : caractérisation de la bijectivité, calcul de l'inverse d'une matrice

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Probabilités sur un univers dénombrable
Définition espace probabilisé
évenements, suites d'évènements, indépendances d'évenements
Probabilités condionnelles
Formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formules de Bayes

La notion de tribus pourra être abordée selon le choix de l'enseignant mais n'est pas explicitement au programme.

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Définition, somme partielle, série convergente, somme de série.


Condition nécessaire de convergence. Structure d'ev de l'ensemble des séries convergentes.


Séries à termes positifs


Une série à termes positifs converge ssi la suite des sommes partielles est majorée


Critère de majoration, minoration, équivalence


Séries de Riemann, séries géométriques à termes positifs




Règles de Riemann

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Circuit linéaire en régime permanent sinusoïdal.


Oscillations forcées : analogies mécaniques et électriques. Régime sinusoïdal forcé, impédances complexes.


Association d'impédances.


Calculs dans un réseau linéaire en régime sinusoïdal.


Oscillateur électrique. Résonance.




Filtres.


Signaux périodiques.


Fonction de transfert harmonique.


Diagramme de Bode.

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Champ électrostatique et théorème de Gauss


Charge ponctuelle. Loi de Coulomb. Distribution de charges : linéique, surfacique et volumique.


Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle. Cartographie du champ E créé par une charge ponctuelle. Lignes de champ.


Additivité. Principe de superposition. Symétrie / Antisymétrie.


Notion de potentiel électrostatique. énergie électrostatique.


Notion de gradient. Interprétation géométrique du gradient. éléments d'analyse de cartes de champs E, V.


Théorème de Gauss. Calculs de champ.


Topographie du champ E




Mouvement d'une particule dans les champs E et B uniformes et stationnaires.


Force électrostatique sur une charge ponctuelle. Force magnétostatique sur une charge ponctuelle en mouvement. Travail/Puissance de ces forces.


Stockage et dissipation d'énergie.




Champ magnétostatique et théorème d'Ampère.


Modélisation d'une distribution volumique de courant. Passage à la modélisation linéique.


Symétrie / Antisymétrie.


Théorème d'Ampère.


Topographie du champ B.

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Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre


Corps pur diphasé en équilibre. Diagramme de phases (P, T ). Cas de l'équilibre liquide-vapeur : diagramme de Clapeyron (P, v), titre en vapeur.


équilibre liquide-vapeur de l'eau en présence d'une atmosphère inerte.




Premier principe. Bilans d'énergie


Enthalpie associée à une transition de phase : enthalpie de fusion, enthalpie de vaporisation, enthalpie de sublimation.




Second principe. Bilans d'entropie


Second principe : fonction d'état entropie, entropie créée, entropie échangée.


Loi de Laplace


Cas particulier d'une transition de phase.




Machines thermiques Application du premier principe et du deuxième principe aux machines thermiques cycliques dithermes : rendement, efficacité, théorème de Carnot.

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Cinématique du solide


Rappels sur la rotation


De la formule de Varignon à la loi de transport des vitesses.


Composition des vecteurs rotation


Conditions de roulement sans glissement.




Cinétique du solide


Centre d'inertie : système de points, généralisation au solide.


Moment d'inertie autour d'un axe : système de points, généralisation au solide.


Rappel : Loi de transport du moment cinétique.


Théorème de Huygens (des axes parallèles)


Exemple d'application.




Principe fondamental de la dynamique appliqué aux solides


Statique


Dynamique




énergétique du solide


énergie cinétique - énergie cinétique barycentrique.


énergie potentielle de pesanteur et élastique


Travail et puissance d'une force


Loi de l'énergie cinétique et loi de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen.


Loi de l'énergie mécanique et loi de la puissance mécanique dans un référentiel galiléen.

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Description de l'atome en mécanique quantique : introduction


Dualité onde-corpuscule, Equation de Schrödinger,


Fonctions d'onde, nombres quantiques (n, l, m), orbitales atomiques,


Représentation des fonctions d'onde monoélectronique de l'atome d'hydrogène




Description des molécules en mécanique quantique


Modèle LCAO cas des molécules diatomiques homo et hétéronucléaire de la 1 ière et 2 ième période.


Hybridation des orbitales atomiques (liaison et , système aromatique)




Structure de l'état solide


Généralités : liaison dans l'état solide, classification des cristaux, maille élémentaire, coordinence, compacité, masse volumique, sites interstitiels et conditions d'occupation


Description des structures des cristaux métalliques type CFC et CC ainsi que les cristaux ioniques type CsCl, NaCl et ZnS

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Représentation et stéréochimie


Nomenclature des composés organiques


Effets électronique dans les molécules


Introduction à la réactivité en chimie organique


Méthodes de caractérisation par spectroscopie Principe et utilisation de la RMN 1H

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Système chimique


Premier principe


équilibre chimique

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Réaction et mesure de la vitesse


Lois de vitesse


Activation thermique

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Qu'est ce qu'un gène ?


L'ADN est le support de l'information génétique


L'ADN est une molécule informative


Du gène à la protéine


Régulation de l'expression génétique : état de l'ADN (chromatine condensée ou non, histones), promoteurs, facteurs de transcriptions et séquences de régulation (opéron lactose), ARN régulateurs (mi et si RNA, qui peuvent aboutir à l'explication des techniques CRispR-Cas9 dans la partie technologies de l'ADN recombinant)

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Applications : les biotechnologies : Techniques d'étude des acides nucléiques


électrophorèses, transferts sur membrane, marquages ADN, séquençage


technologies de l'ADN recombinant (Ez restriction, PCR, clonages, CrispR-Cas9, OGM... )




Organisation fonctionnelle du vivant : Fonctions réalisées par les organites (pour les organismes unicellulaires) ou les tissus / organes (pour les organismes pluricellulaires)


Mécanismes de développement des métazoaires Pour aboutir à un organisme pluricellulaire, il faut évoquer les notions de


Régulation (exemples : homéothermie ou stress)


Développement : rôles des gènes homéotiques (animaux + végétaux)

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Illustration de la complexité sur des exemples


Illustration de la récursivité sur des exemples


Encodage des flottants


Méthodes d'intégration numériques


Méthode de Newton pour la résolution d'équations


Méthode du pivot de Gauss


Utilisation de matplotlib

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Algèbre relationnelle


Implémentation requêtes SQL

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Valeur propre et vecteur propre, spectre, sep en somme directe, sev stables par un endomorphisme et représentation matricielle
Polynôme caractéristique, lien avec les valeurs propres, multiplicité d'une valeur propre
Diagonalisation, cas particuliers importants
Applications à l'étude des systèmes différentiels, système linéaire de suites récurrentes, recherche du commutant d'une matrice diagonalisable.

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Intégrales généralisées : intégrale d'une fonction bornée au voisinage d'un point (« fausses » intégrales généralisées), calculs
Intégrales généralisés de fonctions positives: critère de comparaison, Intégrales de Riemann, critère de Riemann
Intégrales généralisées de fonction non positives : fonction absolument convergentes, et étude de sin(x)/x en exercice

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Séries à termes positifs : majorations, équivalents, critères de Riemann et de d'Alembert, séries de Bertrand
Séries de signe non constant : séries absolument convergentes, critère spéciale des séries alternées, ou développements asymptotiques,
comparaison série à termes positifs et intégrales, produit de deux séries absolument convergentes (propriétés de l'exponentielle)

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Topologie de R^2 et R^3 : norme, normes 1, 2 et infini, normes équivalentes, distance, boules ouverte et fermée, sphère, voisinage, partie ouverte, partie fermée.
Applications de R^2 (ou R^3) dans R : limite, techniques de calcul de limites, application partielle, continuité, dérivée partielle première selon un vecteur ou selon la base canonique, fonction de classe C^1

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Convergence simple et uniforme pour les suites de fonctions.
Continuité de la limite en cas de convergence uniforme
Interversion de la limite et de l'intégrale sur un segment
Dérivabilité de la limite en cas de convergence uniforme de la suite des dérivées
Théorème de convergence dominée.

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Propagation d'un signal - Notion d'onde

Propagation du son dans un solide : chaîne infinie de ressorts - passage à un milieu continu
équation de d'Alembert unidimensionnelle dans plusieurs domaines de la physique


Onde progressive - superposition d'ondes

Solution générale de l'équation de d'Alembert unidimensionnelle
Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive. Célérité, retard temporel
Onde progressive sinusoïdale : déphasage, double périodicité spatiale et temporelle
Variables couplées. Impédance Coefficients de réflexion et de transmission sur une discontinuité
Interférences entre deux ondes mécaniques de même fréquence
Notion de modes propres : situation où tous les degrés de liberté ont une évolution temporelle sinusoïdale demême fréquence. Exemple du mouvement horizontal de deux masses accrochées par des ressorts linéaires sans masse
Généralisation à plusieurs degrés de liberté (N degrés de liberté = N modes propres)
Modes propres d'une corde fixée à ses deux extrémités ou d'un tuyau sonore
Analyse spectrale


Ondes sonores dans les fluides

Mise en équations des ondes sonores dans l'approximation acoustique
Aspects énergétiques : densité volumique d'énergie sonore, vecteur densité de courant d'énergie
Réflexion et transmission d'une onde sonore plane progressive sous incidence normale sur une interface plane infinie entre deux fluides : coefficient de réflexion et de transmission des vitesses, des surpressions et des puissances sonores.


Dispersion - absorption

Exemples de situation où la vitesse de propagation dépend de la pulsation de l'onde
Vitesse de phase
étalement d'un paquet d'ondes - vitesse de groupe

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Chap1 : Statiques des fluides
1 Modèle du milieu continu
Notion de fluide, échelle de description
2 Pression
Pression au sein d'un fluide au repos, équation d'état, Fluides et écoulements incompressibles
3 équilibre mécanique d'un fluide
Relation fondamentale de la statique des fluides, Fluide incompressible dans un champ de pesanteur
4 Action d'un fluide sur un solide
Exemple d'une retenue d'eau, Solide totalement immergé, théorème d'Archimède

Chap2: Cinématique des fluides
1 Visualisation d'un écoulement
2 Description d'un fluide en mouvement
Méthode de Lagrange et d'Euler, Topographie, Accélération Eulérienne
3 Caractéristiques d'un écoulement
stationnaire ou permanent, compressible / incompressible, rotationnel / irrotationnel, Déformation des particules de fluide
4 Notion de débit
Débit volumique et massique, conservation locale de la masse

Chap3: Dynamique des fluides parfaits
1 Forces s'exerçant sur une particule de fluide
Forces volumiques et surfaciques, Force pressante, Forces de cisaillement, Fluide parfait et nombre de Reynolds
2 Description d'un fluide parfait en mouvement
écoulement parfait, équation d'Euler, Conditions aux limites, Exemple d'écoulement
3 Aspect énergétique : relation de Bernoulli
écoulement parfait, incompressible, stationnaire, homogène et irrotationnel
écoulement parfait, incompressible, stationnaire, homogène
Applications (Effet venturi, Débitmètre, mesure de pression, Tube de Pitot)
4 Autres types d'écoulements
écoulement non stationnaire mais irrotationnel, écoulement non stationnaire mais rotationnel, écoulement traversant une machine hydraulique

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Second principe

Second principe appliqué à la thermodynamique chimique
Notion d'entropie, entropie standard, influence de T et p
Enthalpie libre


Potentiel chimique

Potentiel Chimique : définition, propriétés, influence de T et p, potentiel chimique standard
Condition de l'équilibre physico-chimique
Equilibre entre phases : diagrammes de Clapeyron dans les systèmes unaires
Expression du potentiel chimique : systèmes idéaux et réels
Activité et coefficient d'activité Constante d'équilibre


Equilibre chimique

Variance d'un équilibre
Déplacement des équilibres : loi de Le Chatelier

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Théories de vitesse

Introduction aux processus élémentaires
Théorie des collisions
Relier la molécularité d'un processus aux ordres partiels de la loi de vitesse d'un acte élémentaire
Profil énergétique réactionnel


Mécanismes réactionnels

Cinétique formelle
Réactions d'ordre simple
Réactions composées : Réactions inversables - Réactions concurrentes - Réactions consécutives
Mécanisme des réactions complexes
Approximation du pré-équilibre rapide
Notion d'intermédiaire réactionnel
Approximation de l'état quasi-stationnaire
Approximation de l'étape cinétiquement déterminante
Principes cinétiques
Réactions par stades
Réactions radicalaires en chaînes, longueur de chaîne


Activation catalytique

Catalyse : définition, catalyse homogène, hétérogène, enzymatique
Catalyse et cycles catalytiques
Ordre partiel par rapport au catalyseur

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Complexité
Terminaison/correction des boucles
Récursivité
Tris
Tests
Types ensemble et dictionnaire

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Théorèmes de continuité et de dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un paramètre
Généralisation du théorème de convergence dominée pour le calcul de la limite d'une intégrale dépendant d'un paramètre
Calcul explicite (par connaissance de la dérivée, équations différentielles, intégration terme à terme d'une série de fonctions)
Approfondissement : découverte de la transformée de Laplace et quelques applications

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Convergence simple, uniforme et normale pour les séries de fonctions
Théorème d'interversion des limites
Théorème continuité et dérivation
Intégration terme à termes

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équation de Maxwell, énergie électromagnétique et notion d'ARQS magnétique.

équations de Maxwell :

Connaître et utiliser les équations de Maxwell sous forme locale ou intégrale. Savoir les nommer Maxwell-Gauss, Faraday, Ampère et Thomson.
Connaître l'équation locale de conservation de la charge.


énergie du champ électromagnétique :

Connaître l'expression de la densité volumique d'énergie électromagnétique
Connaître l'expression du vecteur de Poynting
Connaître l'expression de la puissance volumique transmise par le champ électromagnétique à des charges mobiles
Connaître l'équation locale de conservation de l'énergie électromagnétique.


Notion d'ARQS magnétique :

Définir l'ARQS magnétique comme un écart à la magnétostatique.
Savoir simplifier les équations de Maxwell et l'équation locale de conservation de la charge en conséquence




Propagation d'une OPPH dans le vide (illimité)

Spectre et applications, équations de Maxwell dans le vide, équation d'onde, Relation de dispersion, Structure du champ :
énergie du champ électromagnétique, Vecteur de Poynting :


Réflexion sur un conducteur parfait/guidage (vide limité)

Réflexion à incidence normale d'une OPPH polarisée rectilignement sur un plan conducteur parfait, onde stationnaire, application aux cavités à une dimension :

établir les expressions des champs réfléchis (les relations de passage étant données et admises).
Exprimer les champs E et B dans le vide. Mettre en évidence le fait que la superposition de l'OPPH incidente et de celle réfléchie n'est pas une OPPH.


Réflexion à incidence oblique d'une OPPH-PR sur un plan conducteur parfait

Propagation guidée d'une onde TE Exprimer le champ électrique TE guidé entre 2 plans conducteurs parfaits parallèles.
Modes propres de propagation
établir la relation entre k et ! dans le guide. La comparer à celle dans le vide illimité. Dispersion modale.
Mettre en évidence l'existence d'une pulsation de coupure en dessous de laquelle il n'y a plus de propagation pour chacun des modes.
Vitesse de phase et de groupe.
Montrer que l'onde n'est pas transverse magnétique pour un mode TEm.

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Graphes : exemple de mise en oeuvre pour l'ordonnancement
Arbres : initiation
Projet : possibilité d'utiliser des interfaces graphiques

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Modélisation : transformée de Laplace, fonctions de transfert, diagramme de Bode, notions sur le filtrage
Réponse temporelle de systèmes d'ordre 1 et 2
Performances : stabilité, précision, rapidité
Simulations Matlab/Simulink ou Scilab/scicos

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Introduction au module, présentation des métiers liés à l'environnement
Formation des éléments à l'échelle géologique
Tectonique, dynamique de la Terre
Altération, érosion, cycle des éléments
Cycle du carbone, changement climatique - échelle globale
Fonctionnement des écosystèmes terrestres et aquatiques
Cycle du carbone, azote, phosphore - échelle écosystème
Mesures de compensation carbone

Sortie de terrain (4h)

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Découvrir les méthodes d'analyse en génétique des populations

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Rôle important de l'eau dans la vie
Les différents types de liaisons chimiques
Les molécules organiques : glucides, lipides, protides

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Polynômes d'endomorphisme et de matrice
Polynôme annulateur, polynôme caractéristique et minimal, lien avec les valeurs propres, th. Cayley Hamilton
Lemme des noyaux
Trigonalisation
Endomorphismes et matrices nilpotentes
Réduction de Jordan
Applications : calcul de l'inverse et des puissances d'une matrice, lien avec la diagonalisation, systèmes différentiels, système linéaire de suites récurrentes

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Définition, Lemme d'Abel, rayon de convergence
Techniques de calcul du rayon de convergence (la définition, comparaisons, règle de d'Alembert)
Etude sur le disque ouvert. Propriétés de la somme d'une série entière dans l'intervalle ouvert de convergence
Opérations sur les séries entières : série somme et série produit
Série de Taylor et développement en série entière de fonctions usuelles
Méthode de l'équation différentielle pour déterminer un développement en série entière (cas de x-> (1+x)^a)
Recherche des solutions d'une équation différentielle sous forme de somme de série entière
Calcul de la somme d'une série entière (cas où les coefficients sont du type P(n), P(n)/n! avec P polynôme et F(n) où F est une fraction rationnelle)

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Magnétostatique et forces de Laplace

Champ magnétique créé par une spire et un solénoïde infini
Moment magnétique d'une spire :

connaître le couple exercé par un champ extérieur sur une spire


Action d'un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant - Forces de Laplace :

établir l'expression de la résultante des forces de Laplace dans le cas d'une barre conductrice placée dans un magnétique stationnaire.
établir l'expression du moment du couple des actions mécaniques de Laplace dans le cas d'une spire parcourue par un courant placée dans un champ magnétique extérieur uniforme et stationnaire


Potentiel vecteur


Induction électromagnétique

ARQS magnétique :

Réécrire les équations de Maxwell dans l'ARQS magnétique


Courant induit :

Prédire le sens du courant induit suivant le sens de la variation du flux magnétique.




Circuit fixe dans un champ magnétique dépendant du temps

Induction de Neumann :

Utiliser la loi de Lenz
Utiliser la loi de Faraday pour calculer une fem induite
Utiliser le champ électromoteur pour calculer une fem induite
Utiliser la loi d'Ohm locale ou intégrale pour calculer une intensité


Auto-induction, flux propre et inductance propre :

évaluer l'inductance propre du bobine infinie (le champ magnétique crée par labobine sera donné)
Conduire un bilan énergétique dans un système siège d'un phénomène d'autoinduction en s'appuyant sur un schéma électrique équivalent


Bobines en interaction : Inductance mutuelle entre deux bobines
énergie magnétique :
Application au transformateur :

établir le rapport de transformation d'un transformateur idéal




Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

Induction de Lorentz :

Utiliser la loi de Lenz
Utiliser la loi de Faraday pour calculer une fem induite.
Utiliser le champ électromoteur pour calculer une fem induite
Utiliser la loi d'Ohm locale ou intégrale pour calculer une intensité


Conversion de puissance mécanique en puissance électrique :

Rail de Laplace, Freinage électromagnétique
Conduire un bilan énergétique dans un système siège d'un phénomène d'auto induction en s'appuyant sur un schéma électrique équivalent


Circuit en rotation dans un champ magnétique uniforme :

Génératrice


Conversion de puissance électrique en puissance mécanique :

Moteur à courant continu à entrefer plan, Haut parleur électrodynamique




Milieux magnétique et transformateur

équations de Maxwell dans un milieu magnétique et dans l'ARQS :

Courants d'aimantation
Utiliser le vecteur excitation magnétique H et réécrire l'équation de Maxwell-Ampère dans un milieumagnétique


Forme intégrée (globale) des équations de Maxwell :

Loi de Faraday, Théorème d'Ampère


Milieu magnétique : cycle d'hystérésis
Application au transformateur réel :

Constitution
Transformation des tensions
Transformation des courants
Transformation des puissances
Normalisation des courants (bornes homologues)
Pertes fer et cuivre, énergie

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Ondes électromagnétiques dans un plasma

Interaction entre une OPPH et un plasma localement neutre sans collision

Savoir décrire un modèle simple de plasma de faible densité et sans interactions
Savoir qu'un plasma est un milieu dispersif et non absorbant de conductivité complexe imaginaire pure
Savoir établir la relation de dispersion
Savoir qu'il existe une pulsation de plasma au dessous de laquelle l'onde est évanescente (domaine réactif) et au dessus de laquelle une OPPH peut sepropager (zone de transparence)




Ondes électromagnétiques dans un conducteur

Interaction OPPH/conducteur :

Savoir que la conductivité est dans le cas général complexe
Savoir établir la relation de dispersion dans le cas général


Comportement basse fréquence :

Cas du conducteur ohmique(conductivité réelle)
Propagation avec dispersion et absorption
Savoir définir l'épaisseur de peau. Cas limite du conducteur parfait




Réflexion d'une OPPH entre deux demi-espaces d'indices complexes sous incidence normale

Coefficients complexes de réflexion et de transmission :

Coefficients de réflexion r et de transmission t en amplitude du champ électrique


Coefficients de réflexion et de transmission en puissance :

Coefficients de réflexion R et de transmission T en puissance à l'interface


Cas d'une interface Vide / Plasma :

établir les coefficients de réflexion et de transmission du champ électrique
établir les coefficients de réflexion et de transmission en puissance
Distinguer les comportements dans le domaine de transparence et dans le domaine réactif du plasma


Cas d'une interface Vide / Conducteur ohmique :

établir les coefficients de réflexion et de transmission du champ électrique
établir les coefficients de réflexion et de transmission en puissance
Cas limite du conducteur parfait

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Equations différentielles

Méthodes de Runge-Kutta pour la résolution numérique d'EDO


Programmation objet

Objets
Classes


Algorithmique pour les jeux

Utilisation des graphes, stratégie gagnante, attracteurs
Heuristique. Min-max.


Projet

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Origine des espèces et histoire de la vie sur terre
Evolution
- Génétique des populations
- Evolution des populations
- Spéciation
Diversité biologique du vivant
- Virus, bactéries et archées : diversité des types trophiques, caractéristiques de la cellule bactérienne, dynamique de croissance des populations, eucaryotes
- Principes de classification (phylogenèse)
- Diversité des organismes eucaryotes : les grands règnes, acquisition de la photosynthèse, mobilité, pluricellularité
- Diversité du monde animal
- Physiologie humaine

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Découvrir par une approche épistémologique les théories de l'origine de la vie
Réaliser une fiche de lecture d'un ouvrage portant sur la théorie de l'origine de la vie sur Terre

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Définir un procaryote
Connaître les différentes classes de procaryotes
Appréhender la diversité des procaryotes
Appréhender la génétique bactérienne

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Comprendre et savoir manipuler la classification phylogénétique des animaux

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Découvrir les principes de l'enzymologie fondamentale' et ‘maitriser les principes de la cinétique Michaelienne

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Métabolisme
Formation et rôle de l'ATP

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Rôle de barrière et communication inter-cellulaire
Protéines membranaires (canaux et transport)
Les différents types de transport
Endocytose/exocytose

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Produit scalaire, expression matricielle, norme euclidienne, inégalité de Cauchy Schwarz, identités de polarisation et du parallélogramme
Vecteurs orthogonaux, famille orthogonale et orthonormée, th. de Pythagore, expression du produit scalaire dans une bon, coordonnées d'un vecteur dans une bon, procédé d'orthonormalisation de Schmidt
Sous-ensemble orthogonaux, ortogonal d'un ensemble, supplémentaire orthogonal
Projection orthogonale et formule du projeté, distance d'un vecteur à un sev et application aux problème d'optimisation

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Dérivées partielles secondes, th. de Schwarz application différentiable
Opérations sur les différentielles
C^1-difféomorphismes, jacobien, changement de variables,résolution d'EDP avec changement de variable
Plan tangent

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Probabilités sur un univers continu : variable aléatoire, fonction de répartition, densité, moments (espérance, variance), indépendance de deux variables aléatoires, inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev
Lois usuelles continues : uniforme sur un segment, exponentielle, normale, gaussienne, convergence en loi, th central limite, approximation de loi (Binomiale par Normale, Poisson par Normale), correction de continuité. ou des couples de v.a.
Probabilités sur un univers dénombrable définition espace probabilisé, évenements, indépendances d'évenements, proba condionnelles, Formule des probabilités composées, Formule des probabilités totales, Formules de Bayes, Variables aléatoires discrètes, loi d'une variable aléatoire, espérance, théorème de transfert, variance, on traite directement le cas dénombrable. Lois discrètes usuelles : loi uniforme discrète (loi équidistribuée), loi binomiale dont la loi de Bernoulli, loi de Poisson et loi géométrique

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Statistiques descriptives 2 variables : coefficient de corrélation, droite de regression par méthode des moindres carrés
Estimation : estimateurs sans biais et convergents, estimateurs par la méthode des moments (Moyenne empirique, variance empirique, proportion), estimation par intervalle de confiance
Initiation à R

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Systèmes ouverts

Exemples d'études de machines thermodynamiques réelles à l'aide de diagrammes (P, h), (T, s), (h, s)


Diffusion de particules

Modes de transport :

Distinguer le transport de matière par diffusion de celui par convection.


Débit de particules
Densité particulaire et notion d'équilibre thermodynamique local :

Connaître la différence entre un volume mésoscopique où il y a équilibre thermodynamique local et un volume macroscopique où le système est faiblement hors équilibre.


Vecteur densité de courant de particules
Loi de Fick :

Connaître la loi de Fick dans le cas 3D. Utiliser la loi de Fick en géométrie cartésienne, cylindrique ou sphérique.
Coefficient de diffusion. Savoir retrouver son unité par calcul dimensionnel.


Bilans de particules, Conservation de la matière :

Utiliser la notion de flux pour traduire un bilan global de particules.
établir une équation traduisant un bilan local dans le cas unidimensionnel, ou pour des géométries à symétries sphériques ou cylindriques (variable r uniquement), éventuellement en présence de sources internes.
Connaître l'équation locale de conservation de la matière à 3D.


équation de diffusion en l'absence ou présence de sources internes. Irréversibilité :

établir une équation de la diffusion dans le seul cas d'un problème unidimensionnel en géométrie cartésienne.
Connaître l'équation de diffusion à 3D.
Analyser une équation de diffusion sans source en ordre de grandeur pour relier des échelles caractéristiques spatiales et temporelles.


Condition aux limites :

exploiter la continuité de la densité particulaire ou du flux de particules (débit) pour expliciter une condition aux limites.


Régimes stationnaires/ARQS :

Résoudre l'équation de diffusion en régime stationnaire en appliquant les CL
Utiliser la conservation du flux sous forme locale ou globale en l'absence de source interne. Faire le lien avec la loi des noeuds en électrocinétique.
Comparer le temps caractéristique d'évolution des sources ou des CL avec le temps caractéristique de diffusion pour valider l'hypothèse d'ARQS.




Diffusion thermique

Les différents modes de transfert thermique : diffusion, convection et rayonnement
Vecteur densité de courant thermique

Exprimer le flux thermique à travers une surface en utilisant le vecteur j_Q.
Lier le flux thermique à la puissance thermique traversant la surface.


Température et notion d'équilibre thermodynamique local :

Connaître la différence entre un volume mésoscopique où il y a équilibre thermodynamique local et un volume macroscopique où le système est faiblement hors équilibre.


Bilans d'énergie. Conservation de l'énergie :

Utiliser le premier principe dans le cas d'un milieu solide pour établir une équation locale dans le casunidimensionnel, ou pour des géométries à symétries sphériques ou cylindriques (variable r uniquement) éventuellement en présence de sources internes.
Connaître l'équation locale de conservation de l'énergie à 3D.


Loi de Fourier :

Connaître la loi de Fourier dans le cas 3D.
Utiliser la loi de Fourier en géométrie cartésienne, cylindrique ou sphérique.


équation de la diffusion thermique en l'absence ou présence de sources internes :

établir une équation de la diffusion dans le seul cas d'un problème unidimensionnel en géométrie cartésienne.
Connaître l'équation de diffusion à 3D.
Analyser une équation de diffusion en ordre de grandeur pour relier des échelles caractéristiques spatiale et temporelle.


Conditions aux limites. Loi de Newton :

Exploiter la continuité de la température pour un contact thermique parfait. Exploiter la continuité du flux(= puissance) thermique dans les autres cas.
Exploiter la loi de Newton pourexprimer la puissance thermique cédée par un solide à une interfacesolide/fluide.
Exploiter la conservation du flux et la loi de Newton pour expliciter une condition à une limite solide/fluide.


Régimes stationnaires et ARQS. Notion de résistance thermique :

Utiliser la conservation du flux sous forme locale ou globale en l'absence de source interne.
Mettre en évidence un temps caractéristique d'évolution de la température pour justifier l'ARQS.
Définir la notion de résistance thermique par analogie avec l'électrocinétique.
établir, dans le cas unidimensionnel, l'expression d'une résistance thermique : d'un solide, d'une interface solide-fluide
Utiliser des associations de résistances thermiques


Ondes thermiques :

Savoir établir la relation de dispersion (la forme en pseudo-OPPH avec k complexe étant donnée). Distance d'atténuation.


Rayonnement thermique : Approche descriptive du rayonnement du corps noir : loi de Wien, loi de Stefan

Utiliser les expressions fournies des lois de Wien et de Stefan pour expliquer qualitativement l'effet de serre

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TAD (piles, files, modules)
Langages et Automates
Projet : Conception de modules. Possibilité d'illustrer les Langages et Automates

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Norme, distance, équivalences, exemples de normes sur R^n, espaces l^p
Topologie des evn : boules et sphères, parties bornées d'un evn, voisinages, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, frontière
Suites de Cauchy, Espaces complets
Espaces compacts
Continuité et uniforme continuité des applications, fonctions lipschitziennes, cas des applications linéaires (norme subordonnée), bilinéaires cas de la dimension finie
Espace de Hilbert

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Formes bilinéaires symétrique, matrice d'une forme bilinéaire
Formes quadratiques, caractère positif et défini
Endomorphismes symétriques, théorème spectral, matrices symétriques, symétriques positives, symétriques définies positives, lien avec le spectre
Endomorphismes orthogonaux avec étude cas n=2 et n=3, matrices orthogonales

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Retour sur les fonctions différentiables : dérivées partielles, fonction différentiable, différentielle d'une fonction en un point, fonctions de classe C1, Théorème de Schwarz, jacobienne, résolution d'équations aux dérivées partielles avec changement de variable
Extrema : extrema locaux, extrema globaux, condition nécessaire d'existence d'un extremum local sur un ouvert, formule de Taylor à l'ordre 2, matrice hessienne, lien avec l'existence d'un extremum local
Formes différentielles : forme différentielle, forme différentielle exacte, formes différentielle fermée (sur un ouvert, une forme différentielle exacte est fermée), ouvert étoilé, Théorème de Poincaré, intégrale curviligne

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Notions sur les séries doubles convergentes
Loi conjointe d'un couple de variables aléatoires
Lois marginales
Fonction de répartition d'un couple de variables aléatoires.
Lois conditionnelles
Indépendance
Loi de f(X,Y) où f fonction à valeurs réelles. Exemple : loi de X+Y.
Théorème de transfert
Variance d'une somme
Covariance et propriétés. Coefficient de corrélation

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Initiation à un langage de programmation présentant des aspects fonctionnels : ocaml ou haskell en priorité, ou éventuellement un dialecte de lisp (eg scheme / racket / clojure)
Principes de la programmation fonctionnelle : absence d'effets de bords, fonctions en tant qu'objets de première classe, curryfication, stratégies d'évaluation (stricte ou paresseuse, appel par nom, par valeur)
Utilisation avancée de la récursivité : défintion de types récursifs (list, arbre), induction, récursivité terminale et style de programmation par continuations,
Motifs et filtrage, travailler sur des données en programmation fonctionnelle : map, reduce/fold
Application possible avec un petit TP / projet type IA (en veillant à éviter les redondances avec le programme de la majeure informatique au S3). Exemple de sujet possible : backtracking

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Formats de données plus ou moins structurées (csv et/ou json)
Web scraping (en Python avec le module "Beautiful Soup")
Parsing et transformation de données (Python avec le module "pandas")
Analyse et visualisation de données (statistiques élémentaires, graphiques en Python)
Apprentissage statistique élémentaire avec des méthodes type LDA / PCA ou modèles linéaires

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Notion de contraintes, de déformation et lois de comportement

Essai de traction uniaxiale
Essai de cisaillement (module de cisaillement G)
Moyens de mesures des contraintes et des déformations (jauges d'extensométrie, capteur de force, corrélation d'images)


Loi de comportement généralisée

Tenseur des contraintes et des déformations
Loi de Hooke généralisée
Contraintes et déformations principales - Directions principales
équations d'équilibre, conditions aux limites


Applications aux problèmes d'élasticité

élasticité linéaire isotrope voire anisotrope dans des cas très simples


Discontinuités géométriques, défauts : notion de concentration de contraintes

Approche théorique et avec utilisation d'abaques sur des essais de traction simple



Travaux pratiques : Essai de traction sur des matériaux élastiques facilement déformables

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Rappels et compléments de cinématique des fluides

Débits, écoulements potentiels, loi de Bernoulli instationnaire, fonction de courant


Théorème de la quantité de mouvement

Notions de tenseur : tenseur gradient des vitesses, des contraintes, des contraintes visqueuses, vecteur contrainte
Equation d'Euler, modèle du fluide newtonien incompressible, équation de Navier Stokes
Conditions aux limites cinématiques et dynamiques
Applications à des écoulements simples : cisaillement simple, écoulement extensionnel, écoulement de Poiseuille, écoulement à l'air libre...


Bilans de quantité de mouvement et bilans d'énergie

Loi de Bernoulli généralisée, pompes et turbines


Pertes de charge régulières

Loi de Poiseuille en régime laminaire, loi de Blasius en écoulement turbulent et conduite lisse
Rugosité, abaque de Moody pour les conduites rugueuses
Pertes de charge singulières

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Systèmes triphasés

Rappels et compléments sur les circuits en régime sinusoïdal forcé
Système triphasé équilibré
Intérêt du triphasé - nécessité de la gestion du réseau
Introduction aux systèmes triphasés déséquilibrés


Circuits magnétiques

Rappels d'électromagnétisme
Circuits magnétiques
Enroulement alimenté par une tension sinusoïdal


Le transformateur monophasé

Le transformateur parfait
Modélisation du transformateur réel à partir du transformateur parfait et de la modélisation d'un enroulement
Le transformateur réel dans l'hypothèse de Kapp
Pertes et rendement d'un transformateur

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L'amplificateur opérationnel

Généralités : Présentation du composant, Caractéristiques, Régimes de fonctionnement
Modélisation fonctionnelle
Bouclage en contre réaction : montage linéaire

Gain en boucle fermée : Fonctionnement en zone linéaire
Effet de la contre-réaction
Amplificateur opérationnel idéal
Application : montage Suiveur, adaptation d'impédance


Montages linéaires

Amplificateur non inverseur et inverseur
Sommateur
Amplificateur différentiel
Convertisseur courant - tension
Montage intégrateur et dérivé
Montage Log et Anti-log : Application montage multiplicateur


Montages non linéaires

Comparateur / Comparateur à hystérésis
Montage astablE




L'analogique vers le numérique

Présentation de l'électronique numérique
Présentation simplifiée du transistor MOS en commutation
Logique CMOS
Application : Convertisseur CAN Flash

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