ECTS
9 crédits
Composante
LA PREPA DES INP
Code interne
JP2MATS2
Liste des enseignements
Accompagnement personnalisé : soutien en mathématiques
Algèbre linéaire
Intégration et Fractions rationnelles
Calcul différentiel
Matrices et Déterminants
Probabilités
Séries numériques à termes positifs
Accompagnement personnalisé : soutien en mathématiques
Composante
LA PREPA DES INP
Intégration et Fractions rationnelles
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Fractions rationnelles
Méthodes de DES : sous forme de fiche.
Mise en application sur des cas relativement simples et pratiques (pas de paramètre n, privilégier décomposition dans R(X) : évaluations, parité, limite).
Intégration
Propriétés de l'intégrale, fonctions continues par morceaux, sommes de Riemann, inégalité et égalité de la moyenne, théorème fondamental de l'analyse, primitive, lien entre intégrale et primitive.
Intégration par parties, changements de variable.
Calcul pratique de primitives (IPP, changement de variables, fractions rationnelles, polynômes exponentielles)
Calcul différentiel
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LA PREPA DES INP
Relations de comparaison
Définition relations O,o ~ pour les fonctions et pour les suites,
propriétés et opérations pour la relation o, croissances comparées,
propriétés et opérations pour les équivalentes (transitivité, produit, quotient, composition à droite et puissance, valeur absolue)
Liens entre équivalents et limites
Calcul différentiel
Dérivabilité en un point : définitions, lien avec la continuité, opérations (+,.,x,/) et formules, dérivée d'une composé et d'une application réciproque,
Dérivabilité sur un intervalle,
Dérivées successives, formule de Leibniz, fonctions de classe Cn et opérations,
Théorème de Rolle, Théorème des Accroissements Finis,
Applications : lien dérivée / sens de variation d'une fonction,
Inégalités des AF,
Formule de Taylor Young, formule de Taylor-Lagrange
DL
Développements limités en 0, en a réel quelconque et en l'infini,
Développement généralisé, (selon l'échelle des (x^k) avec k dans Z) en 0, en a réel quelconque et en l'infini,
Formulaires, Calcul de limites,
Tangentes et branches asymptotiques, positions relatives
Matrices et Déterminants
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LA PREPA DES INP
Matrices
Définitions, opérations : addition, multiplication externe, multiplication interne, propriétés,
Rang d'une matrice, détermination pratique du rang,
Matrice inversible, groupe linéaire, calcul pratique de l'inverse d'une matrice,
Changement de bases, matrice de passage, formules de changement de bases pour les vecteurs et les applications linéaires
Déterminants
Formes n-linéaires, symétriques, antisymétriques, alternées,
Déterminant d'une famille de n vecteurs relativement à une base,
Déterminant d'un endomorphisme,
Déterminant d'une matrice carrée,
Calcul pratique d'un déterminant, techniques de calcul et développement selon une ligne ou une colonne, notion de mineur, cofacteur, comatrice,
Applications des déterminants : caractérisation de la bijectivité, calcul de l'inverse d'une matrice
Probabilités
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Probabilités sur un univers dénombrable
Définition espace probabilisé
évenements, suites d'évènements, indépendances d'évenements
Probabilités condionnelles
Formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formules de Bayes
La notion de tribus pourra être abordée selon le choix de l'enseignant mais n'est pas explicitement au programme.
Séries numériques à termes positifs
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Définition, somme partielle, série convergente, somme de série.
Condition nécessaire de convergence. Structure d'ev de l'ensemble des séries convergentes.
Séries à termes positifs
Une série à termes positifs converge ssi la suite des sommes partielles est majorée
Critère de majoration, minoration, équivalence
Séries de Riemann, séries géométriques à termes positifs
Règles de Riemann