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9 crédits
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LA PREPA DES INP
Code interne
JP1MATS1
Liste des enseignements
Accompagnement personnalisé : entraînement au calcul
Accompagnement personnalisé : méthodologie
Accompagnement personnalisé : soutien en mathématiques
Logique
Calcul algébrique
Nombres complexes
Bases de l'analyse
Algèbre générale 1
Algèbre générale 2
Suites numériques
Continuité
Accompagnement personnalisé : entraînement au calcul
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Accompagnement personnalisé : méthodologie
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Accompagnement personnalisé : soutien en mathématiques
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Logique
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LA PREPA DES INP
Définition des connecteurs logiques (et, ou, implication, équivalence , négation)
Apprendre à nier une phrase quantifiée
Démonstration par récurrence, récurrence faible et forte, par l'absurde et par contraposition, raisonnement par analyse -synthèse
Ensembles (définition, intersection, union, complémentaire)
Calcul algébrique
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Systèmes linéaires par méthode du pivot de Gauss
Calcul de sommes et produits
Binôme de Newton et coefficients binomiaux
Simplification littérale, résolution d'inégalités (en incluant la valeur absolue), équations et inéquations (avec factorisation de polynômes, valeurs absolues, recherche de signes)
Nombres complexes
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Introduction aux nombres complexes
Forme algébrique, partie réelle, imaginaire, module, conjugué, inégalité triangulaire
Somme, produit et inverse
Calculs, Equation du 2nd degré à coefficients complexes
Représentation dans le plan, affixe d'un point
Travail avec la multiplication par le conjugué en cas de fraction de deux polynômes pour avoir le forme algébrique du quotient, Forme exponentielle, lien avec la géométrie (module, argument)
Euler et Moivre, utilisation des complexes pour linéariser cos^n(x), sin^n(x) et pour l'expression de cos(px), sin(px) à l'aide de puissances
Racines n-ième avec cas particulier des racines carrées
Bases de l'analyse
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Bases de l'analyse
Fonctions usuelles et propriétés (puissances entières ou non,valeur absolue, exp et ln)
Bijection réciproque, formule de la dérivée de la bijection réciproque, fonctions trigo, fonctions trigo réciproques
Fonctions hyperboliques, (pas de trigonométrie hyperbolique,) seule formule sur ch^2-sh^2
Calculs sur la trigonométrie
Parité, les limites, le domaine de définition
IPP à revoir en exercices
Exemple de la partie entière à aborder
Equations différentielles à coefficients constants
Equations différentielles du premier ordre à coefficients constants et avec second membre.
Forme exponentielle ou trigo pour le second membre
Théorème de structure des solutions, théorème sur la forme de solution particulière
Exemple l'utilisation des complexes pour un second membre en lambda*e^{imx}
Equations différentielles linéaires d'ordre 1
Définition, Structure des solutions , Plan d'étude
Solution de l'équation homogène, Recherche d'une solution particulière (solution évidente, cas déj à étudiés, méthode de la variation de la constante), Principe de superposition
Problème de Cauchy
Algèbre générale 1
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Relation d'un ensemble dans un ensemble: définition, propriétés (donner en exemple la relation d'équivalence), classes d'équivalence.
Relation d'un ensemble dans un autre: application, fonction , injectivité, surjectivité, bijectivité, image et image réciproque d'un ensemble.
Composition
Algèbre générale 2
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Structure de groupes
Lois interne, propriétés définition d'un groupe, th des sous groupes.
Morphismes de groupes , noyau et image.
Image directe dun sous groupe par un morphisme.
Polynômes
Définition, opérations, structure, degré, lien avec les opérations
Composition, Dérivation, formule de Taylor, Division euclidienne, relation "divise", notion de diviseurs d'un polynôme
Racines d'un polynôme, multiplicité, Factorisation en produit de polynômes irréductibles à coefficients dans R ou C
PGCD, polynômes premiers entre eux
Relations entre coefficients et racines : terme de plus bas degré et celui de degré n-1 et le cas particulier où n=2.
Suites numériques
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Relation d'ordre des réels, borne supérieure, densité des rationnels et des irrationnels.
Définition des suites, opérations (+, x, .), structure, suites réelles majorées, minorées, bornée, monotones.
Comportement asymptotique, définition quantifiée de la limite, unicité, toute suite convergente est bornée, opération sur les limites, liens entre limites et inégalités (théorème des gendarmes...)
Suites extraites, suites réelles monotones et adjacentes, les suites récurrentes linéaires doubles., suites récurrentes avec plan d'étude (autonomie sur f croissante, f décroissante en exercices)
Continuité
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Topologie de R : adhérence, intérieur, voisinage d'un point,
Limites : définition quantifiée, unicité, opérations, caractérisation séquentielle, limites et encadrement.
Continuité : définition, prolongement par continuité, continuité sur une partie, discontinuités de première et deuxième espèce
Théorème des valeurs intermédiaires et ses conséquences pour les fonctions continues sur segments (thm de la bijection, bornes atteintes sur un segment,image d'un intervalle, d'un segment par une fonction continue, théorème d'homéomorphisme, injectif + continue => strictement monotone)...
Quelques limites usuelles pour faire du calcul de limite "simple" (dont les croissances comparées). Pas de limites trop techniques, fonction partie entière.