Introduction à la méthode des volumes finis

Ce cours présente la méthode des volumes finis, une technique très utilisée pour l'approximation numérique d'équations aux dérivées partielles appelées lois de conservation.Une attention particulière sera portée à la conception des schémas volumes finis et à leur implémentation pour des problèmes bi-dimensonnels. Une partie du cours sera aussi consacrée à la notion de solution faible des équations aux dérivées partielles dans le cadre de la théorie des distributions : cette théorie permet de donner un sens mathématique à la notion de solution non-régulière qui est d'une importance cruciale pour la méthode des volumes finis appliquées à des équations hyperboliques. Les méthodes vues en cours seront programmées lors de TP en Fortran et en C++ (EM7PG201).

Cours de mathématique et d'analyse numérique de première année

1) EDP et lois de conservations

Classification des EDP
Lois de conservation
Formule de Stokes
Flux

2) Méthode des volumes finis 

principes généraux
Approche générale en 2D : maillage, valeurs moyennes, flux
Exemple 1 : équation de la chaleur, flux centré, propriétés, lien avec les différences finies, implémentation
Exemple 2 : problème de diffusion stationnaire
Exemple 3 : équation d'advection-diffusion

3) Théorie des distributions et solutions faibles

Motivations
Exemple de solutions non régulières
Notion de distribution et de dérivée au sens des distributions
Formule des sauts
Solution faible
Problème de Riemann

4) Méthode des volumes finis pour les équations hyperboliques linéaires

Méthode de Godunov - Flux décentré
Construction d'un schéma 2D à partir d'un schéma 1D
Système hyperbolique
Extension à l'ordre 2

5) Lois de conservation non linéaires

Exemples : Burgers, trafic routier
Existence et unicité
Solution du problème de Riemann
Schéma de Godunov
Solveurs de Riemann approchés

Analyse numérique - Calcul scientifique