Equations Différentielles Ordinaires

Le but du cours d’Équations Différentielles (EDO) est d’apprendre les outils de bases qui permettent d’étudier le comportement des solutions d’équations différentielles. Après une brève introduction contenant des exemples d’équation différentielles provenant de la physique et leur utilisation dans le contexte du métier d'ingénieur, nous aborderons trois grands chapitres : l’existence-unicité des solutions et le calcul des solutions exactes, la stabilité des solutions à une EDO, et les méthodes de résolution numérique des EDO. 

I) Solutions exactes des équations différentielles
1. Définitions : Équations différentielles ordinaires, Solutions d’une EDO, Problèmes de Cauchy. 
2. Existence-Unicité des solutions. Lemme de Grönwall. Théorème de Cauchy-Lipschitz.
3. Résolution exacte pour
— les EDO scalaires d’ordre 1 à variables séparables,
— les systèmes linéaires d’EDO homogènes et à coefficients constants
— les EDO linéaires scalaires d’ordre m, homogènes et à coefficients constants.
4. Principes de comparaisons pour l'étude asymptotique des solutions

II) Analyse asymptotique et stabilité des solutions
1. Quantités conservées ou dissipées et structure hamiltonienne des équations de la mécanique.
2. Stabilité au sens de Lyapounov, stabilité asymptotique, théorèmes de stabilité de Lyapunov. 
3. Étude de la stabilité de la solution nulle d’un système linéaire d’EDO.
4. Étude de la stabilité d’une solution stationnaire d’une EDO non linéaire par étude du spectre de son linéarisé.

III) Méthodes numériques
1. Discrétisation des ODE. Méthodes d’Euler explicite et implicite. Autres méthodes standards.
2. Stabilité numérique et étude de la propagation des erreurs dans le cas linéaire (A-stabilité).
3. Consistance, Ordre et Convergence. Théorème de convergence numérique.
4. Méthodes de Runge-Kutta explicites
— Présentation des méthodes et calcul de l’ordre.
— Stabilité d’une méthode de Runge- Kutta. 
5. Méthodes multipas linéaires (Adams-Bashforth,...)

1. Analyse des fonctions de plusieurs variables réelles, régularité des fonctions et calcul différentiel.
2. Algèbre linéaire et bilinéaire. Calcul matriciel.
3. Analyse asymptotique, calculs de limite et développements limités.
4. Topologie des espaces vectoriels normés en dimension finie ou infinie.
5. Théorèmes d'analyse et d'algèbre fondamentaux